Let x x x be a (right) eigenvector of A A A corresponding to an eigenvalue λ λ λ and let y y y be a left eigenvector of A corresponding to a different eigenvalue μ μ μ, where λ ≠ μ λ ≠ μ λ?=μ. Show that x T y x沉默的山水 xTy = 0. Hint : A x = λ x Ax = λx Ax=λx and y T A = μ y T y^TA = μy^T yTA=μyT
Step 1) A x = λ x Ax=λx Ax=λx
Step 2) y T A x = λ y T x y^TAx=λy^Tx yTAx=λyTx
Step 3) y T A x ? λ y T x = 0 y^TAx-λy^Tx=0 yTAx?λyTx=0
Step 4) ( y T A ? λ y T ) x = 0 (y^TA-λy^T)x=0 (yTA?λyT)x=0
Step 5) ( μ y T ? λ y T ) x = 0 (μy^T-λy^T)x=0 (μyT?λyT)x=0
Step 6) ( μ ? λ ) y T x = 0 (μ-λ)y^Tx=0 (μ?λ)yTx=0
How: μ ≠ λ ? > μ ? λ ≠ 0 μ ≠ λ -> μ-λ ≠ 0 μ?=λ?>μ?λ?=0
This way: y T x = 0 y^Tx=0 yTx=0
