现在我们来讨论凸函数，现设一函数??。在该函数定义域的凸区内任取两点??。设一点?，那么易得，该点必包含于??之间。
?如图所示：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? 图中含点??，先构建线性函数的两点式，代入??两点，再代入??点的横坐标，得到其纵坐标为：?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?利用同时? ?? ?我们可以得到：? ? ??
? ? ? ? ? 所以??点的横坐标：? ? ? ? ? ? ?
再结合图像我们可以看出：
?
且当??时，可以取等号
?总结可得：
? ? ? ? ? ? ? ? ??
?同理可得：
??
?
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