1.1? 函数及其性质
映射：非空集合X、Y，若存在一个法则f，使X中每个元素x在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射。
? ? ? ? ?（单射、满射、双射、逆映射、复合映射）
函数：D为实数集，则映射?为定义在D上的函数。
? ? ? ? ?（定义域对应的函数值只有一个的函数为单值函数，否则为多值函数）
? ? ? ? ? ?疑问：多值函数（如：）为一对多的映射情况，可这种映射不符合映射的定义，故多值函数还算函数麽？
? ? ? ? ? ?函数特性：单调性、有界性、奇偶性、周期性。
1.2? 数列的极限
数列极限：设有数列及常数a，若，当时有??成立，则称a是数列的极限或称收敛于a。
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?记为? ?，其几何解释为所有下标大于N的项都落在a的邻域内。
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(数列极限的定义只能验证，不能求解)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?数列极限性质：唯一性、有界性、保号性。
1.3? 函数的极限
函数极限：(1) 自变量趋于无穷大时
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?设f(x)定义在上，A是一个确定的数，
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?若，使当|x| > X时，恒有|f(x) - A|<，则称A是f(x)当时的极限。
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?记为? ??
? ? ? ? ? ? ? ? ? (2) 自变量趋于有限值时
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?设f(x)在的某去心邻域内有定义，A是一个确定的数，
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?若，使当时，恒有|f(x) - A|<，则称A是f(x)当时的极限。
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?记为? ??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(左极限、右极限)
? ? ? ? ? ? ? ? ?（函数极限证明通过定义，与数列极限证明同理）
? ? ? ? ? ? ? ? ? 函数极限性质：唯一性、局部有界性、局部保号性。
1.4? 极限的运算法则
函数极限四则运算法则：若??,??, 则
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (1)??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (3)?
数列极限四则运算法则：与函数法则同理。
复合函数极限运算法则：??
常用结论：? (1)?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(2)???
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (3)?? ? ? ? ? ? ? ? ? (4)?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?(5) P(x),Q(x)为多项式函数，求?? ? 若??，则?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 若, 则把P(x),Q(x)因式分解约去公因式后再处理
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 若，, 则??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (6) 一般地，当，m和n为非负整数时有 (分子分母同除)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ,? 当n=m
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 0? ? ?,? 当n>m
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ,? 当n<m
1.5? 极限存在准则? 两个重要极限
(1) 夹逼准则：在给定的变化过程中，如果g(x),f(x),h(x)满足? (1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?则?。
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)?
(2) 单独有界准则：单调有界数列必有极限（单调递增（减）数列只需上（下）有界）
(3) Cauchy收敛准则：数列{}收敛的充分必要条件时?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,使得当 m > N , n > N时，有?。
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 满足上述条件的数列也称Cauchy数列或基本数列。
(4) 第一重要极限：?
(5) 第二重要极限：
1.6 无穷小与无穷大
无穷小：若??,? ? 则称f(x)当??时为无穷小。（如 ?）
? ? ? ? ? ? ? ? 若，当时 |f(x)| <?，则称f(x)当时为无穷小。
? ? ? ? ? ? ? ? (1) 数 "0" 是无穷小量。
? ? ? ? ? ? ? ?(2) 无穷小并不是一个很小的数，其是一类特殊函数，是在某一变化过程中极限为0的函数，并且在一个过程中为无穷小 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的量在另一过程中可能不是无穷小量。?
? ? ? ? ? ? ? ?(3)??, 其中?。
无穷大：若??,? ? 则称f(x)当??时为无穷大。（如?）
? ? ? ? ? ? ? ? 若，当时 |f(x)| > M，则称f(x)当时为无穷大。
? ? ? ? ? ? ? ? (1) 无穷大是变量，不能与很大的数混淆。
? ? ? ? ? ? ? ? (2) 切勿将??认为极限存在。
二者关系：在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则为无穷小。反之，如果f(x)为无穷小，且?，则为无穷大。
定理：(1) 有限个无穷小的代数和（乘积）仍为无穷小（无限个无穷小的代数和未必是无穷小；n 个??为1）。
? ? ? ? ? ?(2) 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
? ? ? ? ? ?(3) 有限个无穷大的乘积是无穷大（两个无穷大的和与差不一定是无穷大；） 。
? ? ? ? ? ?(4) 无穷大与有界函数之和是无穷大（无穷大与有界函数乘积不一定无穷大；）。
无穷小阶：设??, 且。
? ? ? ? ? ? ? ? ? (1) 如果, 就说是比高阶的无穷小；
? ? ? ? ? ? ? ? ? (2) 如果, 就说是比低阶的无穷小；? ??
? ? ? ? ? ? ? ? ? (3) 如果, 就说与是同阶的无穷小；
? ? ? ? ? ? ? ? ? (4) 如果, 就说与是等价的无穷小；
? ? ? ? ? ? ? ? ? (5) 如果, 就说是比的k阶的无穷小；
等价无穷小替换定理：设?, 且???存在，则??。
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(1) 等价无穷小代换只适用于乘积中（代数和或复合函数不可应用）；
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(2) 常用等价无穷小（当??时）
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? sin x??x ,? ? ? ? ? ? ? ? ? tan x??x? ? ? ? ? ? ?? ? ?arcsin x??x? ? ? ? ? ? ? ? ?arctan x?x
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ln(1+x)??x? ? ? ? ? ? ? ? -1???x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1-cos x??? ? ? ? ? ? ? ???
1.7 函数连续
函数连续定义：设函数y=f(x)在点的某一邻域内有定义，，则函数f(x)在处连续。
